Energia - od czasów najdawniejszych do dalekiej przyszłości #25 energia potencjalna, czyli Robin Hood w akcji (cz. 10)

Po energii potencjalnej w polu grawitacyjnym, elektrycznym i magnetycznym przyszła kolej na inną jej formę – energię potencjalną sprężystości. Ona także jest wszechobecna w naszym codziennym życiu. Otaczająca nas materia wykazuje właściwości sprężystości na poziomie makroskopowym, ale także mikroskopowym.

Z odkształceniem ciał stałych mamy do czynienia na każdym kroku, a jeden z wynalazków – sprężyna jest dla nas bardzo użyteczny. Prawie każdy korzysta z długopisu, więc tym samym ma coś, co posiada sprężynę (oczywiście, nie dotyczy to osób preferujących pióra). Jednak sprężyny występują także w starych zegarkach, samochodach i wielu innych sprzętach codziennego użytku. Drugim użytecznym wynalazkiem jest także powszechnie używana „gumka”. Każdy nosi skarpetki, czy spodnie dresowe. To oczywiście nie wyczerpuje wszystkich wynalazków, w których sprężystość odgrywa ważną rolę. Mógłbym wymienić trampolinę, „gruszkę” bokserską, czy słynną zabawkę z pajacykiem wyskakującym (na sprężynie) z pudełka. Jednak czy tego chcemy, czy nie, dużo więcej przedmiotów i ogólniej mówiąc tworów zbudowanych z materii podlega na co dzień odkształceniom, których nawet nie zauważamy bez specjalistycznego sprzętu. Wiele z nich jest dla nas niepożądanych. Zwłaszcza tych, w konstrukcjach budowalnych, które muszą wykazywać pewną elastyczność, ale nadmierne odkształcenia prowadzą do zmian konstrukcyjnych zagrażających bezpieczeństwu. Tak jak głosi pewne przysłowie „dopóty dzban wodę nosi, dopóki mu się ucho nie urwie”. Tak jest też w przypadku sprężystości. Wszystko ma swoje granice wytrzymałości. Gumkę możemy naciągać tylko do pewnego stopnia. Tak samo jest z wyginaniem prętów, czy innych elementów konstrukcyjnych. Po przekroczeniu pewnych wartości granicznych następuje przerwanie ciągłości materiału. Skutek może być różny - zabawny lub tragiczny. W przypadku gumki spadną nam spodnie, a w przypadku konstrukcji, katastrofa budowalna może wiązać się z licznymi ofiarami i utratą dorobku całego życia. Zatem jak to zwykle bywa i tutaj mamy zasadę „obosiecznego miecza”. Sprężystość może nam służyć i czynić nasze życie bardziej przyjaznym, ale może nas także uśmiercić. Jak widać zagadnienie sprężystości jest bardzo ważne i dlatego warto je badać.

Siła sprężystości

Jak wiadomo substancje w różnych stanach skupienia mają odrębne cechy makroskopowe. Jedną bardzo ciekawą cechą jest sprężystość. Należy tu wyróżnić dwa odrębne pojęcia. O ile płyny (ciecze i gazy) przyjmują kształt naczynia, w którym się znajdują, to ciała stałe mają swój określony kształt, który jest zachowany przy braku sił zewnętrznych. Dlatego tzw. sprężystość objętościową posiadają zarówno ciecze, gazy, jak i ciała stałe. Natomiast sprężystość kształtu jest cechą charakterystyczną ciał stałych. Ogólnie można powiedzieć, że sprężystość to pewna właściwość fizyczna ciał makroskopowych, która umożliwia im odzyskanie pierwotnego kształtu i objętości, po usunięciu sił zewnętrznych, które to odkształcenie wywołały. Oczywiście pozwala nam na to zasada zachowania energii. Należy jeszcze dodać, że siły wywołujące odkształcenie nie mogą przekraczać pewnych określonych granic. Jak zwykle temat jest bardzo szeroki i dokładniej przyjrzymy mu się w kolejnych tekstach, w których dowiemy się co to: elastyczność, plastyczność, naprężenie, zginanie, mechanika pękania, płyn nienewtonowski, reologia, pełzanie, relaksacja i wiele innych tego typu zagadnień. To wszystko jest związane oczywiście z energią, która jest dostarczona do układu i dzięki temu mamy odpowiednie siły wywołujące te zjawiska. Przyjrzymy się też opisowi tych zagadnień na poziomie mikroskopowym.

Strop z betonu

Odkształcenia mogą dotyczyć nie tylko rozciągania, ale także ściskania. Odporność materiałów na jedno i drugie jest bardzo odmienna. Na przykład pręty zbrojeniowe w przypadku stropu układa się w jego dolnej części, w której działają siły rozciągające przy zginaniu. W górnej części działają wtedy siły ściskające. Wynika to z tego, że wytrzymałość betonu na ściskanie jest dziesięciokrotnie większa niż na rozciąganie. Zastosowanie w dolnej części prętów zbrojeniowych powoduje, że to stal przejmuje naprężenia rozciągające. Odkształcenie może też odbywać się przez skręcanie np. pręta. Odkształcenia występują wszędzie, mimo że nie zawsze zdajemy sobie z tego sprawę. Różnorodność kształtów ciał i niezliczone możliwości przyłożenia sił powodują, że opisanie i zmierzenie, niektórych odkształceń jest bardzo dużym wyzywaniem. Komplikacja wszystkich tych procesów jest bardzo duża, a obecny poziom nauki jest na tyle duży, że konieczne jest stosowanie dość bogatego i skomplikowanego opisu matematycznego. W opisie pojawia się pewien obiekt matematyczny, znany niektórym ze słyszenia. Jest to najbardziej znany tensor (zwłaszcza przez inżynierów) – tensor odkształcenia.

Opis siły sprężystość - podstawy

Od kilku tygodni moi wierni czytelnicy pytają mnie o to, kiedy pojawi się tytułowy Robin Hood. A skoro pytają mnie to ja odpowiadam (cytując klasyka). Będzie to w dzisiejszym, a dokładniej w kolejnym tekście. Robin Hood kojarzy się wszystkim z hasłem „Zabierał bogatym i rozdawał biednym”. Jednak na pytanie jaki jest główny atrybut Robin Hooda, każdy bez wahania odpowie, że łuk i kołczan ze strzałami. I tym oto sposobem przeszliśmy do zasady działania łuku. A żeby ją zrozumieć musimy najpierw poznać energię potencjalną sprężystości. Jak sama nazwa wskazuje lepszym przykładem od łuku będzie sprężyna. To ją najczęściej podaje się w podręcznikach do fizyki. Z drugiej strony dzisiaj rzadko nosimy ze sobą łuk, za to prawie każdy ma długopis, a w nim sprężynkę.

Rozważmy ciężarek zawieszony na sprężynie. Sprężyna (bez ciężarka na końcu) ma długość l₀, a po zawieszeniu ciężarka długość zwiększa się do l. W takim przypadku wydłużenie sprężyny Δl jest wprost proporcjonalne do przyłożonej siły. Co więcej, wydłużenie jest też wprost proporcjonalne do długości początkowej. Jak pamiętamy ze szkoły, ciśnienie to stosunek siły do powierzchni: p = F/S i wyrażamy go w paskalach: 1 Pa = 1 N/m². Możemy teraz wprowadzić naprężenie wewnętrzne, także mierzone w paskalach i oznaczone literą p. Powstaje ono w materiale na skutek działania siły F. Naprężenie jest liczbowo równe wartości siły F przypadającej na jednostkę powierzchni, która przenosi to naprężenie. Wielkość Δl możemy nazwać wydłużeniem bezwzględnym, a iloraz Δl/l₀ wydłużeniem względnym. Jest to oczywiście wielkość bezwymiarowa, która informuje nas o tym w jakim stopniu zostało odkształcone dane ciało. Mając te dane i przeprowadzając proste eksperymenty  dojdziemy do wniosku, że:

p = E Δl/l₀,

gdzie E to tzw. moduł sprężystości Younga. Wzór ten wyraża prawo Hooke’a:

Naprężenie wewnętrzne ciała jest wprost proporcjonalne do jego wydłużenia względnego.

Moduł Younga określa sprężystość ciał i jego wartość jest równa naprężeniu, które powstałoby przy dwukrotnym zwiększeniu długości ciała. Jeśli ciała mają dużą wartość modułu, to możemy nieprecyzyjnie powiedzieć, że są twarde. Nie jest go trudno wyznaczyć chociaż w przypadku stali trudno wykonać eksperyment, w którym wydłuży się ona dwukrotnie. Wcześniej ulegnie przerwaniu. Oczywiście nie zawsze i wszędzie prawo Hooke’a dokładnie opisuje odkształcenie. Nie wszystkie materiały są sprężyste. Niektóre wykazują kruchość. Nawet ciała sprężyste odkształcają się zgodnie z prawem Hooke’a tylko w ograniczonym zakresie.

Ogólnie siłę sprężystości możemy wrazić zależnością:

F(x) = - kx.

Opis jednowymiarowy jest prostszy do rozważań i dlatego x oznacza jeden kierunek na osi liczbowej i jest to miara przemieszczenia od położenia równowagi. k to tzw. stała sprężystości (stała siłowa), która jest miarą sztywności. Jest to także odwrotność modułu Younga. Siła sprężystości jest siłą zmienną, gdyż jej wielkość i kierunek zależą od położenia x. Dlatego można zapisać: F = F(x). Prawo Hooke’a pokazuje liniową zależność F od x. Znak minus oznacza, że siła sprężystości jest zawsze skierowana przeciwnie do przemieszczenia od położenia równowagi.

Pozostała nam już tylko praca i tym samym energia siły sprężystości. Energia potencjalna sprężystości jest równa pracy jaką wykonuje siła zewnętrzna przeciwko sile sprężystości przy odkształceniu układu do pewnego ustalonego stanu. Siła zewnętrzna jest oczywiście przeciwnie skierowana do siły sprężystości, a stanem ustalonym układu jest stan równowagi (x = 0). Wtedy wzór na energię potencjalną sprężystości wyraża się w następującej postaci:

E_PS(x) = W_0→x = ½ kx².

Co w bardziej przejrzystym zapisie daje nam:

E = ½ kx².

Można to pięknie wyrazić w postaci całkowej, ale z pewnością nie wszyscy czytelnicy znają rachunek całkowy.

Jak widać pojawiła się tutaj zależność nieliniowa, ponieważ energia jest proporcjonalna do kwadratu odkształcenia x układu od położenia równowagi.

Teraz kiedy już wiemy, czym jest siła i energia potencjalna sprężystości możemy się zająć podstawowym narzędziem pracy Robin Hooda – łukiem. Ale o tym będzie w kolejnym artykule.